3.625 \(\int \frac{(A+B \cos (c+d x)) \sec ^{\frac{5}{2}}(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^{5/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=607 \[ \frac{2 \left (-13 a^2 A b^2+a^4 A+8 a^3 b B-4 a b^3 B+8 A b^4\right ) \sin (c+d x) \sec ^{\frac{3}{2}}(c+d x) \sqrt{a+b \cos (c+d x)}}{3 a^3 d \left (a^2-b^2\right )^2}+\frac{2 b \left (10 a^2 A b-7 a^3 B+3 a b^2 B-6 A b^3\right ) \sin (c+d x) \sec ^{\frac{3}{2}}(c+d x)}{3 a^2 d \left (a^2-b^2\right )^2 \sqrt{a+b \cos (c+d x)}}+\frac{2 b (A b-a B) \sin (c+d x) \sec ^{\frac{3}{2}}(c+d x)}{3 a d \left (a^2-b^2\right ) (a+b \cos (c+d x))^{3/2}}-\frac{2 \left (-2 a^2 b^2 (8 A+3 B)-9 a^3 b (A-B)+a^4 (-(A-3 B))+4 a b^3 (3 A-2 B)+16 A b^4\right ) \sqrt{\cos (c+d x)} \csc (c+d x) \sqrt{\frac{a (1-\sec (c+d x))}{a+b}} \sqrt{\frac{a (\sec (c+d x)+1)}{a-b}} F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \cos (c+d x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{\cos (c+d x)}}\right )|-\frac{a+b}{a-b}\right )}{3 a^4 d \sqrt{a+b} \left (a^2-b^2\right ) \sqrt{\sec (c+d x)}}-\frac{2 \left (-28 a^2 A b^3+8 a^4 A b+15 a^3 b^2 B-3 a^5 B-8 a b^4 B+16 A b^5\right ) \sqrt{\cos (c+d x)} \csc (c+d x) \sqrt{\frac{a (1-\sec (c+d x))}{a+b}} \sqrt{\frac{a (\sec (c+d x)+1)}{a-b}} E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \cos (c+d x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{\cos (c+d x)}}\right )|-\frac{a+b}{a-b}\right )}{3 a^5 d (a-b) (a+b)^{3/2} \sqrt{\sec (c+d x)}} \]

[Out]

(-2*(8*a^4*A*b - 28*a^2*A*b^3 + 16*A*b^5 - 3*a^5*B + 15*a^3*b^2*B - 8*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]
*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 -
Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^5*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x
]]) - (2*(16*A*b^4 - a^4*(A - 3*B) + 4*a*b^3*(3*A - 2*B) - 9*a^3*b*(A - B) - 2*a^2*b^2*(8*A + 3*B))*Sqrt[Cos[c
+ d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(
a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^4*Sqrt[a + b]*(a^2 -
b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b*(A*b - a*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c
+ d*x])^(3/2)) + (2*b*(10*a^2*A*b - 6*A*b^3 - 7*a^3*B + 3*a*b^2*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a
^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(a^4*A - 13*a^2*A*b^2 + 8*A*b^4 + 8*a^3*b*B - 4*a*b^3*B)*Sqrt[a +
b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 2.20318, antiderivative size = 607, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 7, number of rules used = 6, integrand size = 35, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.171, Rules used = {2961, 3000, 3055, 2998, 2816, 2994} \[ \frac{2 \left (-13 a^2 A b^2+a^4 A+8 a^3 b B-4 a b^3 B+8 A b^4\right ) \sin (c+d x) \sec ^{\frac{3}{2}}(c+d x) \sqrt{a+b \cos (c+d x)}}{3 a^3 d \left (a^2-b^2\right )^2}+\frac{2 b \left (10 a^2 A b-7 a^3 B+3 a b^2 B-6 A b^3\right ) \sin (c+d x) \sec ^{\frac{3}{2}}(c+d x)}{3 a^2 d \left (a^2-b^2\right )^2 \sqrt{a+b \cos (c+d x)}}+\frac{2 b (A b-a B) \sin (c+d x) \sec ^{\frac{3}{2}}(c+d x)}{3 a d \left (a^2-b^2\right ) (a+b \cos (c+d x))^{3/2}}-\frac{2 \left (-2 a^2 b^2 (8 A+3 B)-9 a^3 b (A-B)+a^4 (-(A-3 B))+4 a b^3 (3 A-2 B)+16 A b^4\right ) \sqrt{\cos (c+d x)} \csc (c+d x) \sqrt{\frac{a (1-\sec (c+d x))}{a+b}} \sqrt{\frac{a (\sec (c+d x)+1)}{a-b}} F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \cos (c+d x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{\cos (c+d x)}}\right )|-\frac{a+b}{a-b}\right )}{3 a^4 d \sqrt{a+b} \left (a^2-b^2\right ) \sqrt{\sec (c+d x)}}-\frac{2 \left (-28 a^2 A b^3+8 a^4 A b+15 a^3 b^2 B-3 a^5 B-8 a b^4 B+16 A b^5\right ) \sqrt{\cos (c+d x)} \csc (c+d x) \sqrt{\frac{a (1-\sec (c+d x))}{a+b}} \sqrt{\frac{a (\sec (c+d x)+1)}{a-b}} E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \cos (c+d x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{\cos (c+d x)}}\right )|-\frac{a+b}{a-b}\right )}{3 a^5 d (a-b) (a+b)^{3/2} \sqrt{\sec (c+d x)}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2))/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2),x]

[Out]

(-2*(8*a^4*A*b - 28*a^2*A*b^3 + 16*A*b^5 - 3*a^5*B + 15*a^3*b^2*B - 8*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]
*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 -
Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^5*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x
]]) - (2*(16*A*b^4 - a^4*(A - 3*B) + 4*a*b^3*(3*A - 2*B) - 9*a^3*b*(A - B) - 2*a^2*b^2*(8*A + 3*B))*Sqrt[Cos[c
+ d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(
a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^4*Sqrt[a + b]*(a^2 -
b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b*(A*b - a*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c
+ d*x])^(3/2)) + (2*b*(10*a^2*A*b - 6*A*b^3 - 7*a^3*B + 3*a*b^2*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a
^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(a^4*A - 13*a^2*A*b^2 + 8*A*b^4 + 8*a^3*b*B - 4*a*b^3*B)*Sqrt[a +
b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d)

Rule 2961

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_.)*((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.
) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Dist[(g*Csc[e + f*x])^p*(g*Sin[e + f*x])^p, Int[((a + b*Sin[e + f*x])^m*(
c + d*Sin[e + f*x])^n)/(g*Sin[e + f*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && NeQ[b*c - a*d
, 0] &&  !IntegerQ[p] &&  !(IntegerQ[m] && IntegerQ[n])

Rule 3000

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e
_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> -Simp[((A*b^2 - a*b*B)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*
Sin[e + f*x])^(1 + n))/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2)), x] + Dist[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2)), Int
[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[(a*A - b*B)*(b*c - a*d)*(m + 1) + b*d*(A*b - a*B)*(m
+ n + 2) + (A*b - a*B)*(a*d*(m + 1) - b*c*(m + 2))*Sin[e + f*x] - b*d*(A*b - a*B)*(m + n + 3)*Sin[e + f*x]^2,
x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^
2, 0] && RationalQ[m] && m < -1 && ((EqQ[a, 0] && IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]) ||  !(IntegerQ[2*n] && LtQ[n,
-1] && ((IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[m]) || EqQ[a, 0])))

Rule 3055

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> -Simp[((A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*Cos[e +
f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1))/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2)), x] + Dis
t[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[(m + 1)*(b
*c - a*d)*(a*A - b*B + a*C) + d*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + n + 2) - (c*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C) + (m + 1)*(b*
c - a*d)*(A*b - a*B + b*C))*Sin[e + f*x] - d*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + n + 3)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /;
FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && Lt
Q[m, -1] && ((EqQ[a, 0] && IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]) ||  !(IntegerQ[2*n] && LtQ[n, -1] && ((IntegerQ[n] &&
!IntegerQ[m]) || EqQ[a, 0])))

Rule 2998

Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_) + (d_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Dist[(A - B)/(a - b), Int[1/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e
+ f*x]]), x], x] - Dist[(A*b - a*B)/(a - b), Int[(1 + Sin[e + f*x])/((a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Sin
[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2
- d^2, 0] && NeQ[A, B]

Rule 2816

Int[1/(Sqrt[(d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[(-2*
Tan[e + f*x]*Rt[(a + b)/d, 2]*Sqrt[(a*(1 - Csc[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Csc[e + f*x]))/(a - b)]*Ellipt
icF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[d*Sin[e + f*x]]*Rt[(a + b)/d, 2])], -((a + b)/(a - b))])/(a*f), x] /
; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && PosQ[(a + b)/d]

Rule 2994

Int[((A_) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.)
+ (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[(-2*A*(c - d)*Tan[e + f*x]*Rt[(c + d)/b, 2]*Sqrt[(c*(1 + Csc[e + f*x]))/(c
- d)]*Sqrt[(c*(1 - Csc[e + f*x]))/(c + d)]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[b*Sin[e + f*x]]*Rt[
(c + d)/b, 2])], -((c + d)/(c - d))])/(f*b*c^2), x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[c^2 - d^2, 0] &&
EqQ[A, B] && PosQ[(c + d)/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(A+B \cos (c+d x)) \sec ^{\frac{5}{2}}(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^{5/2}} \, dx &=\left (\sqrt{\cos (c+d x)} \sqrt{\sec (c+d x)}\right ) \int \frac{A+B \cos (c+d x)}{\cos ^{\frac{5}{2}}(c+d x) (a+b \cos (c+d x))^{5/2}} \, dx\\ &=\frac{2 b (A b-a B) \sec ^{\frac{3}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^{3/2}}+\frac{\left (2 \sqrt{\cos (c+d x)} \sqrt{\sec (c+d x)}\right ) \int \frac{\frac{3}{2} \left (a^2 A-2 A b^2+a b B\right )-\frac{3}{2} a (A b-a B) \cos (c+d x)+2 b (A b-a B) \cos ^2(c+d x)}{\cos ^{\frac{5}{2}}(c+d x) (a+b \cos (c+d x))^{3/2}} \, dx}{3 a \left (a^2-b^2\right )}\\ &=\frac{2 b (A b-a B) \sec ^{\frac{3}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^{3/2}}+\frac{2 b \left (10 a^2 A b-6 A b^3-7 a^3 B+3 a b^2 B\right ) \sec ^{\frac{3}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{3 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d \sqrt{a+b \cos (c+d x)}}+\frac{\left (4 \sqrt{\cos (c+d x)} \sqrt{\sec (c+d x)}\right ) \int \frac{\frac{3}{4} \left (a^4 A-13 a^2 A b^2+8 A b^4+8 a^3 b B-4 a b^3 B\right )-\frac{1}{4} a \left (6 a^2 A b-2 A b^3-3 a^3 B-a b^2 B\right ) \cos (c+d x)+\frac{1}{2} b \left (10 a^2 A b-6 A b^3-7 a^3 B+3 a b^2 B\right ) \cos ^2(c+d x)}{\cos ^{\frac{5}{2}}(c+d x) \sqrt{a+b \cos (c+d x)}} \, dx}{3 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2}\\ &=\frac{2 b (A b-a B) \sec ^{\frac{3}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^{3/2}}+\frac{2 b \left (10 a^2 A b-6 A b^3-7 a^3 B+3 a b^2 B\right ) \sec ^{\frac{3}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{3 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d \sqrt{a+b \cos (c+d x)}}+\frac{2 \left (a^4 A-13 a^2 A b^2+8 A b^4+8 a^3 b B-4 a b^3 B\right ) \sqrt{a+b \cos (c+d x)} \sec ^{\frac{3}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{3 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac{\left (8 \sqrt{\cos (c+d x)} \sqrt{\sec (c+d x)}\right ) \int \frac{-\frac{3}{8} \left (8 a^4 A b-28 a^2 A b^3+16 A b^5-3 a^5 B+15 a^3 b^2 B-8 a b^4 B\right )+\frac{3}{8} a \left (a^4 A+7 a^2 A b^2-4 A b^4-6 a^3 b B+2 a b^3 B\right ) \cos (c+d x)}{\cos ^{\frac{3}{2}}(c+d x) \sqrt{a+b \cos (c+d x)}} \, dx}{9 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2}\\ &=\frac{2 b (A b-a B) \sec ^{\frac{3}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^{3/2}}+\frac{2 b \left (10 a^2 A b-6 A b^3-7 a^3 B+3 a b^2 B\right ) \sec ^{\frac{3}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{3 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d \sqrt{a+b \cos (c+d x)}}+\frac{2 \left (a^4 A-13 a^2 A b^2+8 A b^4+8 a^3 b B-4 a b^3 B\right ) \sqrt{a+b \cos (c+d x)} \sec ^{\frac{3}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{3 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac{\left (\left (8 a^4 A b-28 a^2 A b^3+16 A b^5-3 a^5 B+15 a^3 b^2 B-8 a b^4 B\right ) \sqrt{\cos (c+d x)} \sqrt{\sec (c+d x)}\right ) \int \frac{1+\cos (c+d x)}{\cos ^{\frac{3}{2}}(c+d x) \sqrt{a+b \cos (c+d x)}} \, dx}{3 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2}-\frac{\left ((a-b) \left (16 A b^4-a^4 (A-3 B)+4 a b^3 (3 A-2 B)-9 a^3 b (A-B)-2 a^2 b^2 (8 A+3 B)\right ) \sqrt{\cos (c+d x)} \sqrt{\sec (c+d x)}\right ) \int \frac{1}{\sqrt{\cos (c+d x)} \sqrt{a+b \cos (c+d x)}} \, dx}{3 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2}\\ &=-\frac{2 \left (8 a^4 A b-28 a^2 A b^3+16 A b^5-3 a^5 B+15 a^3 b^2 B-8 a b^4 B\right ) \sqrt{\cos (c+d x)} \csc (c+d x) E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \cos (c+d x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{\cos (c+d x)}}\right )|-\frac{a+b}{a-b}\right ) \sqrt{\frac{a (1-\sec (c+d x))}{a+b}} \sqrt{\frac{a (1+\sec (c+d x))}{a-b}}}{3 a^5 (a-b) (a+b)^{3/2} d \sqrt{\sec (c+d x)}}-\frac{2 \left (16 A b^4-a^4 (A-3 B)+4 a b^3 (3 A-2 B)-9 a^3 b (A-B)-2 a^2 b^2 (8 A+3 B)\right ) \sqrt{\cos (c+d x)} \csc (c+d x) F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \cos (c+d x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{\cos (c+d x)}}\right )|-\frac{a+b}{a-b}\right ) \sqrt{\frac{a (1-\sec (c+d x))}{a+b}} \sqrt{\frac{a (1+\sec (c+d x))}{a-b}}}{3 a^4 (a-b) (a+b)^{3/2} d \sqrt{\sec (c+d x)}}+\frac{2 b (A b-a B) \sec ^{\frac{3}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^{3/2}}+\frac{2 b \left (10 a^2 A b-6 A b^3-7 a^3 B+3 a b^2 B\right ) \sec ^{\frac{3}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{3 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d \sqrt{a+b \cos (c+d x)}}+\frac{2 \left (a^4 A-13 a^2 A b^2+8 A b^4+8 a^3 b B-4 a b^3 B\right ) \sqrt{a+b \cos (c+d x)} \sec ^{\frac{3}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{3 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 26.5591, size = 4316, normalized size = 7.11 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2))/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2),x]

[Out]

(Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*((2*(-8*a^4*A*b + 28*a^2*A*b^3 - 16*A*b^5 + 3*a^5*B - 15*a^3*b^2*
B + 8*a*b^4*B)*Sin[c + d*x])/(3*a^4*(a^2 - b^2)^2) + (2*(-(A*b^3*Sin[c + d*x]) + a*b^2*B*Sin[c + d*x]))/(3*a^2
*(a^2 - b^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (2*(-11*a^2*A*b^3*Sin[c + d*x] + 7*A*b^5*Sin[c + d*x] + 8*a^3*b^2*B*Sin
[c + d*x] - 4*a*b^4*B*Sin[c + d*x]))/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*(a + b*Cos[c + d*x])) + (2*A*Tan[c + d*x])/(3*a^3)))
/d + (2*((8*a*A*b)/(3*(a^2 - b^2)^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (28*A*b^3)/(3*a*(a^2 - b^2)
^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (16*A*b^5)/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqr
t[Sec[c + d*x]]) - (a^2*B)/((a^2 - b^2)^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (5*b^2*B)/((a^2 - b^2
)^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (8*b^4*B)/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqr
t[Sec[c + d*x]]) + (a^2*A*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*(a^2 - b^2)^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (5*A*b^2*Sqrt[Sec[c
+ d*x]])/((a^2 - b^2)^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (32*A*b^4*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*Sqrt[a
+ b*Cos[c + d*x]]) + (16*A*b^6*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^4*(a^2 - b^2)^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (3*a*b*B*
Sqrt[Sec[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (17*b^3*B*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*(a^2 - b^2)^
2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (8*b^5*B*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (8
*A*b^2*Cos[2*(c + d*x)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*(a^2 - b^2)^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (28*A*b^4*Cos[2*(c +
d*x)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (16*A*b^6*Cos[2*(c + d*x)]*Sqrt[Sec
[c + d*x]])/(3*a^4*(a^2 - b^2)^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (a*b*B*Cos[2*(c + d*x)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/((a^2
- b^2)^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (5*b^3*B*Cos[2*(c + d*x)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*(a^2 - b^2)^2*Sqrt[a +
b*Cos[c + d*x]]) - (8*b^5*B*Cos[2*(c + d*x)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]
))*Sqrt[Cos[(c + d*x)/2]^2*Sec[c + d*x]]*(-2*(a + b)*(-8*a^4*A*b + 28*a^2*A*b^3 - 16*A*b^5 + 3*a^5*B - 15*a^3*
b^2*B + 8*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x])
)]*EllipticE[ArcSin[Tan[(c + d*x)/2]], (-a + b)/(a + b)] + 2*a*(a + b)*(-16*A*b^4 + 2*a^2*b^2*(8*A - 3*B) - 9*
a^3*b*(A + B) + 4*a*b^3*(3*A + 2*B) + a^4*(A + 3*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[(a + b*Cos[c +
d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*EllipticF[ArcSin[Tan[(c + d*x)/2]], (-a + b)/(a + b)] - (-8*a^4*A*b + 28*
a^2*A*b^3 - 16*A*b^5 + 3*a^5*B - 15*a^3*b^2*B + 8*a*b^4*B)*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^
2*Tan[(c + d*x)/2]))/(3*a^4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[(c + d*x)/2]^2]*((b*Sqrt[Cos[(c
+ d*x)/2]^2*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x]*(-2*(a + b)*(-8*a^4*A*b + 28*a^2*A*b^3 - 16*A*b^5 + 3*a^5*B - 15*a^3*b^
2*B + 8*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]
*EllipticE[ArcSin[Tan[(c + d*x)/2]], (-a + b)/(a + b)] + 2*a*(a + b)*(-16*A*b^4 + 2*a^2*b^2*(8*A - 3*B) - 9*a^
3*b*(A + B) + 4*a*b^3*(3*A + 2*B) + a^4*(A + 3*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[(a + b*Cos[c + d
*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*EllipticF[ArcSin[Tan[(c + d*x)/2]], (-a + b)/(a + b)] - (-8*a^4*A*b + 28*a^
2*A*b^3 - 16*A*b^5 + 3*a^5*B - 15*a^3*b^2*B + 8*a*b^4*B)*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^2*
Tan[(c + d*x)/2]))/(3*a^4*(a^2 - b^2)^2*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[(c + d*x)/2]^2]) - (Sqrt[Cos[(c +
d*x)/2]^2*Sec[c + d*x]]*Tan[(c + d*x)/2]*(-2*(a + b)*(-8*a^4*A*b + 28*a^2*A*b^3 - 16*A*b^5 + 3*a^5*B - 15*a^3*
b^2*B + 8*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x])
)]*EllipticE[ArcSin[Tan[(c + d*x)/2]], (-a + b)/(a + b)] + 2*a*(a + b)*(-16*A*b^4 + 2*a^2*b^2*(8*A - 3*B) - 9*
a^3*b*(A + B) + 4*a*b^3*(3*A + 2*B) + a^4*(A + 3*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[(a + b*Cos[c +
d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*EllipticF[ArcSin[Tan[(c + d*x)/2]], (-a + b)/(a + b)] - (-8*a^4*A*b + 28*
a^2*A*b^3 - 16*A*b^5 + 3*a^5*B - 15*a^3*b^2*B + 8*a*b^4*B)*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^
2*Tan[(c + d*x)/2]))/(3*a^4*(a^2 - b^2)^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[(c + d*x)/2]^2]) + (2*Sqrt[Cos[(c
+ d*x)/2]^2*Sec[c + d*x]]*(-((-8*a^4*A*b + 28*a^2*A*b^3 - 16*A*b^5 + 3*a^5*B - 15*a^3*b^2*B + 8*a*b^4*B)*Cos[c
+ d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^4)/2 - ((a + b)*(-8*a^4*A*b + 28*a^2*A*b^3 - 16*A*b^5 + 3*a^5*B
- 15*a^3*b^2*B + 8*a*b^4*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*EllipticE[ArcSin[Tan[(c +
d*x)/2]], (-a + b)/(a + b)]*((Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(1 + Cos[c + d*x])^2 - Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x]
)))/Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])] + (a*(a + b)*(-16*A*b^4 + 2*a^2*b^2*(8*A - 3*B) - 9*a^3*b*(A + B) +
4*a*b^3*(3*A + 2*B) + a^4*(A + 3*B))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*EllipticF[ArcSin[
Tan[(c + d*x)/2]], (-a + b)/(a + b)]*((Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(1 + Cos[c + d*x])^2 - Sin[c + d*x]/(1 + Cos
[c + d*x])))/Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])] - ((a + b)*(-8*a^4*A*b + 28*a^2*A*b^3 - 16*A*b^5 + 3*a^5*B
- 15*a^3*b^2*B + 8*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*EllipticE[ArcSin[Tan[(c + d*x)/2]], (-a + b)
/(a + b)]*(-((b*Sin[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))) + ((a + b*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/((a + b)*(1
+ Cos[c + d*x])^2)))/Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))] + (a*(a + b)*(-16*A*b^4 + 2*a^2*b
^2*(8*A - 3*B) - 9*a^3*b*(A + B) + 4*a*b^3*(3*A + 2*B) + a^4*(A + 3*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*
EllipticF[ArcSin[Tan[(c + d*x)/2]], (-a + b)/(a + b)]*(-((b*Sin[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))) + ((a
+ b*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x])^2)))/Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c
+ d*x]))] + b*(-8*a^4*A*b + 28*a^2*A*b^3 - 16*A*b^5 + 3*a^5*B - 15*a^3*b^2*B + 8*a*b^4*B)*Cos[c + d*x]*Sec[(c
+ d*x)/2]^2*Sin[c + d*x]*Tan[(c + d*x)/2] + (-8*a^4*A*b + 28*a^2*A*b^3 - 16*A*b^5 + 3*a^5*B - 15*a^3*b^2*B +
8*a*b^4*B)*(a + b*Cos[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^2*Sin[c + d*x]*Tan[(c + d*x)/2] - (-8*a^4*A*b + 28*a^2*A*b^3
- 16*A*b^5 + 3*a^5*B - 15*a^3*b^2*B + 8*a*b^4*B)*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^2*Tan[(c +
d*x)/2]^2 + (a*(a + b)*(-16*A*b^4 + 2*a^2*b^2*(8*A - 3*B) - 9*a^3*b*(A + B) + 4*a*b^3*(3*A + 2*B) + a^4*(A +
3*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*Sec[(c + d
*x)/2]^2)/(Sqrt[1 - Tan[(c + d*x)/2]^2]*Sqrt[1 - ((-a + b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)]) - ((a + b)*(-8*a^4*A*
b + 28*a^2*A*b^3 - 16*A*b^5 + 3*a^5*B - 15*a^3*b^2*B + 8*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[(
a + b*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*Sec[(c + d*x)/2]^2*Sqrt[1 - ((-a + b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a
+ b)])/Sqrt[1 - Tan[(c + d*x)/2]^2]))/(3*a^4*(a^2 - b^2)^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[(c + d*x)/2]^2])
+ ((-2*(a + b)*(-8*a^4*A*b + 28*a^2*A*b^3 - 16*A*b^5 + 3*a^5*B - 15*a^3*b^2*B + 8*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]/
(1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*EllipticE[ArcSin[Tan[(c + d*x)/2]]
, (-a + b)/(a + b)] + 2*a*(a + b)*(-16*A*b^4 + 2*a^2*b^2*(8*A - 3*B) - 9*a^3*b*(A + B) + 4*a*b^3*(3*A + 2*B) +
a^4*(A + 3*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*
EllipticF[ArcSin[Tan[(c + d*x)/2]], (-a + b)/(a + b)] - (-8*a^4*A*b + 28*a^2*A*b^3 - 16*A*b^5 + 3*a^5*B - 15*a
^3*b^2*B + 8*a*b^4*B)*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^2*Tan[(c + d*x)/2])*(-(Cos[(c + d*x)/
2]*Sec[c + d*x]*Sin[(c + d*x)/2]) + Cos[(c + d*x)/2]^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]))/(3*a^4*(a^2 - b^2)^2*Sqrt[a
+ b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[(c + d*x)/2]^2]*Sqrt[Cos[(c + d*x)/2]^2*Sec[c + d*x]])))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.757, size = 8101, normalized size = 13.4 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((A+B*cos(d*x+c))*sec(d*x+c)^(5/2)/(a+b*cos(d*x+c))^(5/2),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (B \cos \left (d x + c\right ) + A\right )} \sec \left (d x + c\right )^{\frac{5}{2}}}{{\left (b \cos \left (d x + c\right ) + a\right )}^{\frac{5}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*cos(d*x+c))*sec(d*x+c)^(5/2)/(a+b*cos(d*x+c))^(5/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((B*cos(d*x + c) + A)*sec(d*x + c)^(5/2)/(b*cos(d*x + c) + a)^(5/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (\frac{{\left (B \cos \left (d x + c\right ) + A\right )} \sqrt{b \cos \left (d x + c\right ) + a} \sec \left (d x + c\right )^{\frac{5}{2}}}{b^{3} \cos \left (d x + c\right )^{3} + 3 \, a b^{2} \cos \left (d x + c\right )^{2} + 3 \, a^{2} b \cos \left (d x + c\right ) + a^{3}}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*cos(d*x+c))*sec(d*x+c)^(5/2)/(a+b*cos(d*x+c))^(5/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((B*cos(d*x + c) + A)*sqrt(b*cos(d*x + c) + a)*sec(d*x + c)^(5/2)/(b^3*cos(d*x + c)^3 + 3*a*b^2*cos(d*
x + c)^2 + 3*a^2*b*cos(d*x + c) + a^3), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*cos(d*x+c))*sec(d*x+c)**(5/2)/(a+b*cos(d*x+c))**(5/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (B \cos \left (d x + c\right ) + A\right )} \sec \left (d x + c\right )^{\frac{5}{2}}}{{\left (b \cos \left (d x + c\right ) + a\right )}^{\frac{5}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*cos(d*x+c))*sec(d*x+c)^(5/2)/(a+b*cos(d*x+c))^(5/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((B*cos(d*x + c) + A)*sec(d*x + c)^(5/2)/(b*cos(d*x + c) + a)^(5/2), x)